शेषफल प्रमेय (Remainder Theorem)

●शेषफल प्रमेय : जब दो संख्याओं x एवं y को भाजक d से विभक्त करने पर शेषफल क्रमशः R1 एवं R2 बचते है। , तब ( x×y) को d से विभक्त करने पर जो शेषफल प्राप्त होगा, वही शेषफल (R1×R2) को d से विभक्त करके प्राप्त किया जा सकता है।
उदाहरण : [62×102]को 14 विभक्त करने पर शेष क्या होगा ?
हल :- 62×102 का शेष 6×4 का शेष 24 का शेष =10
             14                  14            14
Note: यदि शेष ऋणात्मक आता है, तो ऋणात्मक संख्या को हर में से घटाने पर जो संख्या प्राप्त होती है वही हमारा शेषफल होगा ।
जैसे : 64×37×11×13 =   4×1×(-1)×1 = -4 
                  12                       12            12
=12-4 = 8

• बहुपद प्रमेय द्वारा शेषफल :

(a + b)n =an+(nC1)an-1b+(nC2)an-2b2 + …+(nCn-1)abn-1 -----------------     + bn
    a          ------------------------------------------------------
                                              a
इस प्रसार का शेषफल , bⁿ/a के शेषफल के बराबर  होगा क्योकि बाकि सभी पद जिसमे a है । वो या से पूर्णतया भाज्य है। 
जैसे :    8^(99)  = (7+1)^99 का शेष 1^99 =1
              7                    7                      7
2.  3^250  = (3^2)^125 = (7+2)^125 
         7                  7                    7
=> का शेष 2^125 = (2^3)^41 ×4 = 1×4 = 4
                    7                    7              7

• LCM व HCM द्वारा शेषफल :
1. LCM आधारित : 

केस 1. वह छोटी से छोटी संख्या जो x, y और z  से भाज्य हो ।

अतः वह संख्या LCM (x, y, z) होगी।

केस 2. N अंको की वह छोटी से छोटी या बड़ी से बड़ी संख्या जो x, y, z से पूर्णतया भाज्य हो ।

अतः वह संख्या LCM (x, y, z ) का गुणज होगी।